斐波那契数列
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斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从 1963 年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
定义
斐波那契数列指的是这样一个数列：
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的定义者，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的莱昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，莱昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。另外斐波纳契还在计算机C语言程序题中应用广泛。
通项公式
递推公式
斐波那契数列：
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...如果设 $a_n$ 为该数列的第 n 项 ( $n ∈ N^*$ ), 那么这句话可以写成如下形式：
$ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} $
显然这是一个线性递推数列。
通项公式
$(1) \quad a_n = {\frac{1}{ \sqrt{5} } \left[ { \left(\frac{1 + \sqrt5}{2} \right)^n } - {\left(\frac{1 - \sqrt5}{2} \right)}^n \right] } . $
(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)
注：此时 $ a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, (n ≥ 2, n ∈ N^*) $
$ (2) \quad a_n = ? $
通项公式推导
方法一：利用特征方程（线性代数解法）
$ x^2 = x + 1 $
解得 $ x_1 = \frac{1+\sqrt5}{2} , \quad x_2 = \frac{1-\sqrt5}{2} .$
则 $ a_n = C_{1}x_{1}^n + C_{2}x_2^n $
∵ $ a_1 = a_2 = 1 $
∴ $ C_1x_1 + C_2x_2 = C_1X_1^2 + C_2x_2^2 = 1 $
解得 ∴ $ C_1 = \frac{1}{\sqrt5} , C_2 = - \frac{1}{\sqrt5} . $
∴ $ a_n = \frac{1}{\sqrt5} \left[ \left( \frac{1+\sqrt5}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt5}{2} \right)^n \right] . $