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第一章 函数与极限 ​

第一节 映射与函数 ​

一、映射 ​

1.映射的概念 ​

2.逆映射与复合映射 ​

二、函数 ​

1.函数的概念 ​

2.函数的几种特性 ​

（1）函数的有界性 ​

（2）函数的单调性 ​

（3）函数的奇偶性 ​

（4）函数的周期性 ​

3.反函数与复合函数 ​

4.函数的运算 ​

5.初等函数 ​

习题 1-1 ​

第二节 数列的极限 ​

一、数列极限的定义 ​

二、收敛数列的性质 ​

习题 1-2 ​

第三节 函数的极限 ​

一、函数极限的定义 ​

二、函数极限的性质 ​

习题 1-3 ​

第四节 无穷小与无穷大 ​

一、无穷小 ​

二、无穷大 ​

习题 1-4 ​

第五节 极限运算法则 ​

习题 1-5 ​

第六节 极限存在准则 两个重要极限 ​

习题 1-6 ​

第七节 无穷小的比较 ​

习题 1-7 ​

第八节 函数的连续性与间断性 ​

一、函数的连续性 ​

二、函数的间断性 ​

习题 1-8 ​

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 ​

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 ​

二、反函数与复合函数的连续性 ​

三、初等函数的连续性 ​

习题 1-9 ​

第十节 闭区间上连续函数的性质 ​

一、有界性与最大值最小值定理 ​

二、零点定理与介值定理 ​

三、一致连续性 ​

习题 1-10 ​

总习题一 ​

第二章 导数与微分 ​

第一节 导数概念 ​

一、引例 ​

二、导数的定义 ​

三、导数的几何意义 ​

四、函数可导性与连续性的关系 ​

习题 2-1 ​

第二节 函数的求导法则 ​

一、函数的和、差、积、商的求导法则 ​

二、反函数的求导法则 ​

三、复合函数的求导法则 ​

四、基本求导法则与导数公式 ​

习题 2-2 ​

第三节 高阶导数 ​

习题 2-3 ​

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 ​

一、隐函数的导数 ​

二、由参数方程所确定的函数的导数 ​

三、相关变化率 ​

习题 2-4 ​

第五节 函数的微分 ​

一、微分的定义 ​

二、微分的几何意义 ​

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 ​

四、微分在近似计算中的应用 ​

习题 2-5 ​

总习题二 ​

第三章 微分中值定理与导数的应用 ​

第一节 微分中值定理 ​

一、罗尔定理 ​

二、拉格朗日中值定理 ​

三、柯西中值定理 ​

习题 3-1 ​

第二节 洛必达法则 ​

习题 3-2 ​

第三节 泰勒公式 ​

习题 3-3 ​

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 ​

一、函数单调性的判定法 ​

二、曲线的凹凸性与拐点 ​

习题 3-4 ​

第五节 函数的极值与最大值最小值 ​

一、函数的极值及其求法 ​

二、最大值最小值问题 ​

习题 3-5 ​

第六节 函数图形的描绘 ​

习题 3-6 ​

第七节 曲率 ​

一、弧微分 ​

二、曲率及其计算公式 ​

三、曲率圆与曲率半径 ​

四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 ​

习题 3-7 ​

第八节 方程的近似解 ​

一、二分法 ​

二、切线法 ​

三、割线法 ​

习题 3-8 ​

总习题三 ​

第四章 不定积分 ​

第一节 不定积分的概念与性质 ​

一、原函数与不定积分的概念 ​

二、基本积分表 ​

三、不定积分的性质 ​

习题 4-1 ​

第二节 换元积分法 ​

一、第一类换元法 ​

二、第二类换元法 ​

习题 4-2 ​

第三节 分部积分法 ​

习题 4-3 ​

第四节 有理函数的积分 ​

一、有理函数的积分 ​

二、可化为有理函数的积分举例 ​

习题 4-4 ​

第五节 积分表的使用 ​

习题 4-5 ​

总习题四 ​

第五章 定积分 ​

第一节 定积分的概念与性质 ​

一、定积分问题举例 ​

二、定积分的定义 ​

三、定积分的近似计算 ​

四、定积分的性质 ​

习题 5-1 ​

第二节 微积分基本公式 ​

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 ​

二、积分上限的函数及其导数 ​

三、牛顿-莱布尼茨公式 ​

习题 5-2 ​

第三节 定积分的换元法和分部积分法 ​

一、定积分的换元法 ​

二、定积分的分部积分法 ​

习题 5-3 ​

第四节 反常积分 ​

一、无穷限的反常积分 ​

二、无界函数的反常积分 ​

习题 5-4 ​

第五节 反常积分的审敛法 $\Gamma$函数 ​

一、无穷限反常积分的审敛法 ​

二、无界函数的反常积分的审敛法 ​

三、$\Gamma$函数 ​

习题 5-5 ​

总习题五 ​

第六章 定积分的应用 ​

第一节 定积分的元素法 ​

习题 6-1 ​

第二节 定积分在几何学上的应用 ​

一、平面图形的面积 ​

二、体积 ​

三、平面曲线的弧长 ​

习题 6-2 ​

第三节 定积分在物理学上的应用 ​

一、变力沿直线所作的功 ​

二、水压力 ​

三、引力 ​

习题 6-3 ​

总习题六 ​

第七章 微分方程 ​

第一节 微分方程的基本概念 ​

习题 7-1 ​

第二节 可分离变量的微分方程 ​

习题 7-2 ​

第三节 齐次方程 ​

一、齐次方程 ​

二、可化为齐次的方程 ​

习题 7-3 ​

第四节 一阶线性微分方程 ​

一、线性方程 ​

二、伯努利方程 ​

习题 7-4 ​

第五节 可降阶的高阶微分方程 ​

一、$y^{(n)}=f(x)$型的微分方程 ​

二、$y^n=f(x,y^{\prime})$型的微分方程 ​

三、$y^n=f(y,y^{\prime})$型的微分方程 ​

习题 7-5 ​

第六节 高阶线性微分方程 ​

一、二阶线性微分方程举例 ​

二、线性微分方程的解的结构 ​

三、常数变易法 ​

习题 7-6 ​

第七节 常系数齐次线性微分方程 ​

习题 7-7 ​

第八节 常系数非齐次线性微分方程 ​

一、$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$型 ​

二、$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x) \cos wx + Q_m(x) \sin wx]$型 ​

习题 7-8 ​

第九节 欧拉方程 ​

习题 7-9 ​

第十节 常系数线性微分方程组解法举例 ​

习题 7-10 ​

总习题七 ​

附录1 二阶和三阶行列式简介 ​

附录2 基本初等函数的图形 ​

附录3 几种常用的曲线 ​

附录4 积分表 ​

习题答案与提示 ​